y^prime prime+y=4 x+10 sen x, y(pi)=0, y^prime(pi)=2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
y'' + y = 4x + 10sen x,
com condições em x=pi:
y(pi)=0, y'(pi)=2
O conteúdo é “equações lineares com coeficientes constantes” e vamos usar o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular, além da solução geral da homogênea.

Passo 2

Primeiro achamos a solução geral da homogênea associada:
yh''+yh=0
A equação característica é r^2+1=0, com raízes r=pm i. Logo,
yh(x)=Acos x + Bsen x,
onde A e B são constantes a determinar pelas condições finais.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular yp1 para o termo polinomial 4x. Como a parte polinomial é de grau 1, tentamos
yp1(x)=Cx + D
Substituindo em y''+y
yp1''+yp1=0 + (Cx + D)=4x
Comparando termos, C=4 e D=0. Assim,
yp1(x)=4x

Passo 4

Em seguida tratamos o termo 10sen x. Como sen x é solução da homogênea, há ressonância, e tomamos
yp2(x)=C,xcos x
Calculamos
yp2'=Ccos x - Cxsen x, yp2''=-2Csen x - Cxcos x
Logo
yp2''+yp2=(-2Csen x - Cxcos x) + Cxcos x = -2Csen x
Para igualar a 10sen x, basta -2C=10, isto é C=-5. Portanto
yp2(x)=-5xcos x

Passo 5

A solução geral da não homogênea é
y(x)=yh(x)+yp1(x)+yp2(x) = Acos x + Bsen x + 4x - 5xcos x
Agora usamos as condições y(pi)=0 e y'(pi)=2.

Passo 6

Primeiro y(pi)=0:
y(pi)=Acospi + Bsenpi + 4pi -5picospi =-A + 0 + 4pi +5pi = -A+9pi =0 ;Rightarrow;A=9pi
Depois derivamos
y'(x)=-Asen x + Bcos x +4 -5(cos x - xsen x) =-Asen x + Bcos x +4 -5cos x +5xsen x
Em x=pi isso vale
y'(pi)= -Acdot0 + Bcdot(-1) +4 -5cdot(-1) +5picdot0 =-B +4+5 = -B+9
Igualando a 2: -B+9=2 B=7.

Resposta

boxedy(x)=9picos x + 7sen x + 4x -5xcos x

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