Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
com condições em
:
O conteúdo é “equações lineares com coeficientes constantes” e vamos usar o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular, além da solução geral da homogênea.
Passo 2
Primeiro achamos a solução geral da homogênea associada:
A equação característica é
, com raízes
. Logo,
onde
e
são constantes a determinar pelas condições finais.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
para o termo polinomial
. Como a parte polinomial é de grau 1, tentamos
Substituindo em
dá
Comparando termos,
e
. Assim,
Passo 4
Em seguida tratamos o termo
. Como
é solução da homogênea, há ressonância, e tomamos
Calculamos
Logo
Para igualar a
, basta
, isto é
. Portanto
Passo 5
A solução geral da não homogênea é
Agora usamos as condições
e
.
Passo 6
Primeiro
:
Depois derivamos
Em
isso vale
Igualando a 2:
dá
.