Calcule os seguintes limites usando LHopital quando possível
lim x infty(xx^2+1)^x

Passo 1

O enunciado pede
limxtoinfty(xx^2+1)^x,
que é uma forma do tipo 0^infty. Para resolver, vamos usar a transforma\c{c}~ao logar’\i tmica e, quando der, aplicar a regra de L’H^opital.

Passo 2

Definimos
y = l(xx^2+1r)^x,
de modo que
ln y = xln!l(xx^2+1r)
Se conseguirmos mostrar que ln yto -infty, então yto0.

Passo 3

Escrevemos
ln!l(xx^2+1r) = ln x ;-;lnl(x^2+1r) = ln x - l(2ln x + ln(1+1/x^2)r) = -ln x - lnl(1+1/x^2r)
Logo
ln y = xl(-ln x - ln(1+1/x^2)r) = -,xln x ;-; xln(1+1/x^2)
Note que o termo -,xln x tende a -infty. Falta ver que xln(1+1/x^2) fica limitado.

Passo 4

Analisamos
L = limxtoinfty xln(1+1x^2)
Isso 'e uma forma 0cdot0, pois ln(1+1x^2)to0 e xtoinfty. Reescrevemos como quociente:
L = limxtoinfty ln(1+1x^2)1/x
Agora temos 0/0, ent~ao aplicamos L’H^opital:
topo' = ddxln(1+1x^2) = 11+1x^2cdot(-2x^3), fundo' = ddx(1x) = -1x^2
Portanto
L = limxtoinfty -2x^3(1+1x^2)-1x^2 = limxtoinfty2x(1+1x^2) = 0
Assim ln y = -,xln x - xln(1+1x^2)to -infty, implicando yto0.

Resposta

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