Calcule os seguintes limites usando LHopital quando possível
lim x 0+ x ln x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0+ x ln x
usando a regra de L’Hôpital. Vamos identificar o tipo de indeterminação e, se necessário, reescrever a expressão como quociente para aplicar a regra.

Passo 2

Observando a forma
x ln x
quando xto0+, temos xto0 e ln xto-infty. Isso dá um produto do tipo 0cdot(-infty), que é indeterminado. Para usar L’Hôpital, precisamos converter em uma razão.

Passo 3

Reescrevendo o produto como quociente, obtemos
x ln x = ln x1/x
Agora, ao xto0+, o numerador ln xto-infty e o denominador 1/xto+infty. Temos, portanto, uma indeterminação do tipo -infty/infty, adequada para aplicar L’Hôpital.

Passo 4

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
ddx(ln x)=1x, ddxl(1/xr)=-1x^2
Logo,
limxto0+ln x1/x =limxto0+1/x-1/x^2 =limxto0+(-x)

Passo 5

Basta agora avaliar
limxto0+(-x)=0
Portanto, o limite original também vale 0.

Resposta

0

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