Utilizando a expressão em série de potências das funções envolvidas, calcule os seguintes limites:
lim x 0 1-cos (x)x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto01-cos(x)x^2
usando séries de potências (expansão de Maclaurin) da função cos(x). Vamos usar a expansão em torno de x=0.

Passo 2

A série de Maclaurin de cos(x) é
cos(x) = 1 - x^22! + x^44! - x^66! + cdots

Passo 3

Substituindo essa expansão no numerador, temos
1 - cos(x) = 1 - l(1 - x^22 + x^424 - cdotsr) = x^22 - x^424 + cdots

Passo 4

Dividindo por x^2:
1-cos(x)x^2 = x^22 - x^424 + cdotsx^2 = 12 - x^224 + cdots

Passo 5

Ao fazer xto0, todos os termos de ordem superior em x desaparecem, restando
limxto01-cos(x)x^2 = 12

Resposta

12

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