Resolva as seguintes equações diferenciais
y^prime prime-10 y^prime-25 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial y'' - 10y' - 25y = 0 . Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de equações características e encontrar as raízes dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma y'' + a y' + b y = 0 , a equação característica é dada por r^2 + a r + b = 0 . No nosso caso, temos:
r^2 - 10 r - 25 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes r . A fórmula de Bhaskara é uma boa opção:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1 , b = -10 e c = -25 . Substituindo esses valores:
r = -(-10) pm raiz(-10)^2 - 4 cdot 1 cdot (-25)2 cdot 1
r = 10 pm raiz100 + 1002
r = 10 pm raiz2002
r = 10 pm 10raiz22
r = 5 pm 5raiz2

Passo 4

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Para equações características com raízes reais e distintas r1 e r2 , a solução geral é:
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t
Substituindo as raízes que encontramos:
y(t) = C1 e^(5 + 5raiz2) t + C2 e^(5 - 5raiz2) t

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^(5 + 5raiz2) t + C2 e^(5 - 5raiz2) t

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