Calcule os seguintes limites usando os limites fundamentais:
lim x 0(1+sen^2(2 x))^1x sen(g x)

Passo 1

O enunciado nos pede o valor do limite
limxto0l(1+sen^2(2x)r)^1x,sen(gx)
Aqui o conteúdo é o uso do limite fundamental
limuto0(1+u)^1/u=e
e as expansões de pequeno ângulo sen(t)approx t. Vamos reescrever a expressão na forma exponencial e usar essas aproximações.

Passo 2

Definimos
L = limxto0l(1+sen^2(2x)r)^1x,sen(gx)
Para lidar com essa potência que tende a 1^infty, tomamos logaritmo:
ln L = limxto0lnl(1+sen^2(2x)r)x,sen(gx)

Passo 3

Para xto0 usamos
sen(2x)approx 2x, sen(gx)approx g,x, ln(1+y)approx y(yto0)
Assim,
lnl(1+sen^2(2x)r)approx sen^2(2x)approx (2x)^2=4x^2,
e
x,sen(gx)approx x,(g,x)=g,x^2
Logo
ln L =limxto04x^2g,x^2 =4g
Portanto L=e^4/g.

Resposta

e^4g

Exercícios relacionados