Calcule os seguintes limites, usando os limites notáveis sempre que for possível.
lim x 0 e^sen x-1sin (2 x)

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto0e^sin x-1sin(2x)
Vamos usar dois limites notáveis:
limtto0e^t-1t=1 e limuto0sin uu=1

Passo 2

Escrevemos a expressão como produto de dois fatores que reconhecemos pelos limites notáveis:
e^sin x-1sin(2x) = e^sin x-1sin x ;times; sin xsin(2x)

Passo 3

Para o primeiro fator, fazemos a mudança de variável t=sin x. Quando xto0, tto0, então
limxto0e^sin x-1sin x =limtto0e^t-1t =1

Passo 4

Para o segundo fator, usamos o limite limuto0sin u/u=1. Observe que
sin xsin(2x) = sin x/xsin(2x)/(2x);times;x2x
e, como
limxto0sin x/x=1 e limxto0sin(2x)/(2x)=1, segue
limxto0sin xsin(2x)=11times12=12

Passo 5

O limite do produto é o produto dos limites já encontrados, logo
limxto0e^sin x-1sin(2x) =1times12 =12

Resposta

12

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