Ex. 3. Fatore as expressões algébricas abaixo:
x^2-2 y^2-x y+2 a x-a y+a^2;

Passo 1

O enunciado pede para fatorar a expressão
x^2-2y^2-xy+2ax - ay + a^2
O conteúdo envolvido é fatoração de polinômios em várias variáveis; aqui vamos usar agrupamento e reconhecimento de quadrado perfeito.

Passo 2

Observe que os termos em x e a formam um quadrado perfeito, e o restante envolve y. Reescrevemos
x^2-2y^2-xy+2ax - ay + a^2 = l(x^2+2ax+a^2r);-;l(xy+ay+2y^2r)

Passo 3

Reconhecemos
x^2+2ax+a^2=(x+a)^2
Definindo a variável auxiliar
t = x + a,
a expressão torna-se
t^2 ;-; l(xy+ay+2y^2r) = t^2 - y,t - 2y^2,
pois xy+ay = y,(x+a)=y,t.

Passo 4

Fatoramos a quadrática em t:
t^2 - y,t - 2y^2 = (t + y),(t - 2y),
visto que
(t + y),(t - 2y) = t^2 -2t,y + y,t - 2y^2 = t^2 - y,t - 2y^2

Passo 5

Substituindo de volta t = x + a, obtemos a fatoração final:
(x + a + y),(x + a - 2y)

Resposta

(x + a + y),(x + a - 2y)

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