Vamos calcular a derivada da função:
Passo 1
O enunciado pede a derivada de f(x) = (1 - 4x3)/√(x2 + 1). O assunto aqui é derivada de quociente de funções, e vamos usar a regra do quociente junto com a regra da cadeia para derivar a raiz.
Passo 2
Vamos identificar as funções: u(x) = 1 - 4x^3 e v(x) = (x^2 + 1)^(1/2). Precisamos de u’(x) e v’(x) para aplicar a regra do quociente.
Passo 3
Derivando u(x):
u(x) = 1 - 4x^3
Aplicando a regra de potência temos
u’(x) = -12x^2.
Aplicando a regra de potência temos
u’(x) = -12x^2.
Passo 4
Derivando v(x):
v(x) = (x^2 + 1)^(1/2)
Aqui usamos a regra da cadeia. A derivada de t^(1/2) é (1/2) t^(-1/2) vezes a derivada de t = x^2 + 1, que é 2x. Logo:
Aqui usamos a regra da cadeia. A derivada de t^(1/2) é (1/2) t^(-1/2) vezes a derivada de t = x^2 + 1, que é 2x. Logo:
v’(x) = (1/2)(x^2 + 1)^(-1/2) · 2x
v’(x) = x / √(x^2 + 1).
v’(x) = x / √(x^2 + 1).
Passo 5
Aplicando a regra do quociente:
f’(x) = [u’(x) v(x) - u(x) v’(x)] / [v(x)]^2.
Passo 6
Substituindo u, u’, v e v’:
f’(x) = [(-12x2)·√(x2 + 1) - (1 - 4x^3)·(x / √(x^2 + 1))] / (x^2 + 1).
Passo 7
Para simplificar, colocamos tudo sobre o mesmo denominador √(x^2 + 1):
Numerador comum = -12x2(x2 + 1) - x(1 - 4x^3)
Então
f’(x) = [-12x2(x2 + 1) - x(1 - 4x^3)] / [(x^2 + 1)·√(x^2 + 1)].
Passo 8
Expandindo o numerador:
-12x^4 - 12x^2 - x + 4x^4 = -8x^4 - 12x^2 - x.
Logo podemos escrever
f’(x) = -(8x^4 + 12x^2 + x) / [(x^2 + 1)^(3/2)].
Passo 9
Fatorando x no numerador para um formato mais enxuto:
8x^4 + 12x^2 + x = x(8x^3 + 12x + 1)
Então a forma final fica f’(x) = -x(8x^3 + 12x + 1)/(x^2 + 1)^(3/2).
Resposta
f’(x) = -x(8x^3 + 12x + 1)/(x^2 + 1)^{3/2}