Calcule os seguintes limites, usando os limites notáveis sempre que for possível.
lim x 0 e^2 x-e^xsen(2 x)-sen x

Passo 1

O enunciado pede
limxto 0e^2x-e^xsen(2x)-sen x
que é uma forma indeterminada tfrac00. Vamos usar limites notáveis e fatorações para resolver.

Passo 2

Verificamos a indeterminação:
e^2x-e^x|x=0=1-1=0, sen(2x)-sen x|x=0=0-0=0

Passo 3

Fatoramos numerador e denominador:
e^2x-e^x = e^xl(e^x-1r), sen(2x)-sen x = sen xl(2cos x-1r)

Passo 4

Reescrevemos o quociente em dois fatores:
e^2x-e^xsen(2x)-sen x = e^x2cos x-1;cdot;e^x-1sen x

Passo 5

Usamos limites notáveis:
  1. limxto0e^x-1x=1 e limxto0sen xx=1, logo
limxto0e^x-1sen x =limxto0e^x-1xcdotxsen x =1cdot1=1
  1. Pela continuidade,
limxto0e^x2cos x-1 =e^02cos0-1 =12cdot1-1=1
Portanto o produto dos limites vale 1.

Resposta

1

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