Ex. 3. Fatore as expressões algébricas abaixo:
x^2+y^2+2 x y+(a+b)(x+y)+a b;

Passo 1

O enunciado pede para fatorar a expressão
x^2+y^2+2xy+(a+b)(x+y)+ab
ou seja, queremos escrever esse polinômio como um produto de fatores mais simples. O conteúdo aqui é fatoração por agrupamento e reconhecimento de quadrado perfeito.

Passo 2

Observe que os três primeiros termos formam um quadrado perfeito em x e y:
x^2+y^2+2xy = (x+y)^2
Logo a expressão fica
(x+y)^2 + (a+b)(x+y) + ab

Passo 3

Para facilitar, faça a substituição auxiliar
t = x+y
Assim o polinômio vira
t^2 + (a+b),t + ab

Passo 4

Agora basta fatorar o trinômio em t. Procuramos dois números que somem a+b e cujo produto seja ab. Esses números são a e b, pois
a+b = (a)+(b), acdot b = ab
Portanto
t^2 + (a+b),t + ab = (t + a),(t + b)

Passo 5

Voltando à variável original t = x+y, obtemos
(t + a),(t + b) = l(x+y + ar),l(x+y + br)

Resposta

(x+y+a),(x+y+b)

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