(Stewart)
(a) A população mundial era de 5,28 bilhões em 1990 e 6,07 bilhões em 2000. Encontre um modelo exponencial para esses dados e use-o para prever a população mundial no ano 2020.
(b) De acordo com o modelo no item (a), quando a população mundial excederá 10 bilhões?
(c) Use os dados no item (a) para encontrar um modelo logístico para a população. Considere uma capacidade de suporte de 100 bilhões. Então use o modelo logístico para prever a população em 2020. Compare com sua previsão do modelo exponencial.
(d) De acordo com o modelo logístico, quando a população mundial excederá 10 bilhões? Compare com suas previsões no item (b)

Passo 1

O enunciado dá a população mundial em 1990 e 2000 e pede modelos exponencial e logístico. O conteúdo aqui é modelagem de crescimento populacional usando funções da forma exponencial
P(t)=P0,b^t
e logística
P(t)=K1 + A,e^-r t
Vamos tomar t=0 em 1990, de modo que P(0)=5,28 bilhões e P(10)=6,07 bilhões.

Passo 2

Para o modelo exponencial escrevemos
P(t)=5,28,b^t
Como P(10)=6,07, temos
b^10 = 6,075,28 Longrightarrow b = gl(6,075,28gr)^1/10approx1,01407
Logo o modelo é
P(t)=5,28,(1,01407)^t

Passo 3

Para prever em 2020 usamos t=30:
P(30)=5,28,(1,01407)^30 approx5,28cdot1,521approx8,03 bilhões õ

Passo 4

Quando P(t)=10?
5,28,(1,01407)^t = 10 Longrightarrow t = ln(10/5,28)ln(1,01407)approx45,8 anos,
isto é, em 1990+45,8approx2036.

Passo 5

No modelo logístico com capacidade de suporte K=100 bilhões, definimos
A = K - P(0)P(0) = 100 - 5,285,28approx17,94,
logo
P(t)=1001 + 17,94,e^-r t
Para achar r usamos P(10)=6,07:
6,07 = 1001 + 17,94,e^-10r Longrightarrow e^-10r = 100/6,07 -117,94approx0,8626 Longrightarrow rapprox0,01478

Passo 6

Previsão logística em 2020 ( t=30):
P(30)=1001 + 17,94,e^-0,01478cdot30 approx1001 + 17,94cdot0,6418 approx7,99 bilhões õ

Passo 7

Quando P(t)=10 no modelo logístico?
1001 + 17,94,e^-0,01478,t = 10 Longrightarrow e^-0,01478,t = 100/10 - 117,94approx0,5011 Longrightarrow tapprox46,7 anos,
isto é, em 1990+46,7approx2037.

Passo 8

Comparando as previsões de 2020, o modelo exponencial dá 8,03 bilhões e o logístico dá 7,99 bilhões (ligeiramente menor). Quanto a ultrapassar 10 bilhões, o exponencial prevê em 2036 e o logístico em 2037 (o logístico atrasa um pouco o limite).

Resposta

(a) P(t)=5,28,(1,01407)^t. Previsão em 2020: P(30)approx8,03 bilhões.
(b) Ultrapassa 10 bilhões quando tapprox45,8, ou seja em 2036.
(c) P(t)=1001 + 17,94,e^-0,01478,t. Previsão em 2020: P(30)approx7,99 bilhões (um pouco abaixo do exponencial).
(d) Ultrapassa 10 bilhões quando tapprox46,7, ou seja em 2037 (ligeiramente depois do exponencial).

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