(Stewart)
(a) A população mundial era de 5,28 bilhões em 1990 e 6,07 bilhões em 2000. Encontre um modelo exponencial para esses dados e use-o para prever a população mundial no ano 2020.
(b) De acordo com o modelo no item (a), quando a população mundial excederá 10 bilhões?
(c) Use os dados no item (a) para encontrar um modelo logístico para a população. Considere uma capacidade de suporte de 100 bilhões. Então use o modelo logístico para prever a população em 2020. Compare com sua previsão do modelo exponencial.
(d) De acordo com o modelo logístico, quando a população mundial excederá 10 bilhões? Compare com suas previsões no item (b)
(a) A população mundial era de 5,28 bilhões em 1990 e 6,07 bilhões em 2000. Encontre um modelo exponencial para esses dados e use-o para prever a população mundial no ano 2020.
(b) De acordo com o modelo no item (a), quando a população mundial excederá 10 bilhões?
(c) Use os dados no item (a) para encontrar um modelo logístico para a população. Considere uma capacidade de suporte de 100 bilhões. Então use o modelo logístico para prever a população em 2020. Compare com sua previsão do modelo exponencial.
(d) De acordo com o modelo logístico, quando a população mundial excederá 10 bilhões? Compare com suas previsões no item (b)
Passo 1
O enunciado dá a população mundial em 1990 e 2000 e pede modelos exponencial e logístico. O conteúdo aqui é modelagem de crescimento populacional usando funções da forma exponencial
e logística
Vamos tomar
em 1990, de modo que
bilhões e
bilhões.
Passo 2
Para o modelo exponencial escrevemos
Como
, temos
Logo o modelo é
Passo 3
Para prever em 2020 usamos
:
Passo 4
Quando
?
isto é, em
.
Passo 5
No modelo logístico com capacidade de suporte
bilhões, definimos
logo
Para achar
usamos
:
Passo 6
Previsão logística em 2020 (
):
Passo 7
Quando
no modelo logístico?
isto é, em
.
Passo 8
Comparando as previsões de 2020, o modelo exponencial dá
bilhões e o logístico dá
bilhões (ligeiramente menor). Quanto a ultrapassar
bilhões, o exponencial prevê em 2036 e o logístico em 2037 (o logístico atrasa um pouco o limite).
Resposta
(a)
. Previsão em 2020:
bilhões.
(b) Ultrapassa bilhões quando
, ou seja em 2036.
(c) . Previsão em 2020:
bilhões (um pouco abaixo do exponencial).
(d) Ultrapassa bilhões quando
, ou seja em 2037 (ligeiramente depois do exponencial).
(b) Ultrapassa
(c)
(d) Ultrapassa