Calcule os seguintes limites, usando os limites notáveis sempre que for possível.
lim x 0 sen(a+x)-sen(a-x)x

Passo 1

Beleza, o problema é calcular
limxto0sin(a+x)-sin(a-x)x
Isso entra em “limites” no cálculo, e a gente vai usar duas coisas principais:
  1. A identidade trigonométrica da diferença de senos.
  2. O limite notável limtto0sin tt=1.

Passo 2

Antes de mais nada, lembra dessa fórmula de trigonometria que transforma diferença de senos em produto:
sin(u)-sin(v)=2cos!l(tfracu+v2r),sin!l(tfracu-v2r)
Aqui a gente identifica u=a+x e v=a-x. Então:
sin(a+x)-sin(a-x) =2cos!l(tfrac(a+x)+(a-x)2r),sin!l(tfrac(a+x)-(a-x)2r)
Calma, calma:
  • tfrac(a+x)+(a-x)2=tfrac2a2=a
  • tfrac(a+x)-(a-x)2=tfrac2x2=x
Logo
sin(a+x)-sin(a-x)=2cos(a),sin(x)

Passo 3

Substitui isso de volta no limite:
limxto0sin(a+x)-sin(a-x)x =limxto02cos(a),sin(x)x
Como cos(a) é constante (não depende de x), dá pra tirar fora do limite:
=2cos(a),limxto0sin(x)x

Passo 4

Agora entra o limite notável: limxto0sin(x)x=1.
Então
2cos(a),limxto0sin(x)x =2cos(a)cdot1

Resposta

boxed2cos(a)

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