4^ a Questāo (valor 2.5)
Encontre os valores de a e b para que a funçāo f(x)=cc5, & x <= 3 x^2+a x+bx^2+5 x-24, & x>3 seja contínua em x=3. Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)= 5, & x<=3, dfracx^2+ax+bx^2+5x-24, & x>3
e pede a e b para que f seja contínua em x=3. Para isso precisamos que
limxto3^-f(x)=limxto3^+f(x)=f(3)
Como f(3)=5 (ramo x<=3), basta igualar limxto3^+ ao valor 5.

Passo 2

Escrevemos o limite pela direita:
limxto3^+x^2+ax+bx^2+5x-24
Note que no denominador, para x=3, temos
3^2+5cdot3-24=9+15-24=0,
então, para existir limite finito, o numerador em x=3 também deve ser zero.

Passo 3

Impondo numerador( 3) =0, obtemos
3^2+3a+b=0 Longrightarrow 9+3a+b=0

Passo 4

Como x^2+ax+b anula em x=3, podemos escrever
x^2+ax+b=(x-3)(x+m)
Expandindo e comparando coeficientes:
(x-3)(x+m)=x^2+(m-3)x-3m
de onde
m-3=a, -3m=b
Após cancelar x-3 com o denominador x^2+5x-24=(x-3)(x+8), o limite fica
limxto3^+x+mx+8 =3+m3+8 =3+m11

Passo 5

Igualando esse limite a 5:
3+m11=5 Longrightarrow 3+m=55 Longrightarrow m=52
Como m-3=a, segue a=52-3=49. E de -3m=b vem b=-3cdot52=-156.

Resposta

a=49 e b=-156.

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