Desprezando a resistência do ar, um corpo em queda livre nas proximidades da terra percorre uma distância
metros em
segundos. Utilizando o cálculo da derivada através do limite, calcule a velocidade do corpo no instante
segundos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um corpo que está em queda livre perto da Terra, sem considerar a resistência do ar. A posição desse corpo em função do tempo é dada por
metros, onde
está em segundos. Nosso objetivo é calcular a velocidade desse corpo no instante
segundos usando o conceito de derivada através do limite. Para isso, vamos precisar entender como calcular a derivada de uma função usando limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a taxa de variação dessa função naquele ponto. No contexto da física, se
representa a posição, a derivada
será a velocidade.
A fórmula da derivada pela definição de limite é:
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula à nossa função
. Primeiro, calculamos
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na fórmula da derivada:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro do limite:
Passo 6
Agora, ao calcular o limite quando
tende a zero:
Passo 7
Então, a velocidade em função do tempo é:
Resposta
No instante
segundos, a velocidade do corpo é: