(6,0) Desprezando a resistência do ar, um corpo em queda livre nas proximidades da terra percorre uma distância s(t)=4,9 t^2 metros em t segundos. Utilizando o cálculo da derivada através do limite, calcule a velocidade do corpo no instante t=2 segundos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um corpo que está em queda livre perto da Terra, sem considerar a resistência do ar. A posição desse corpo em função do tempo é dada por s(t) = 4,9t^2 metros, onde t está em segundos. Nosso objetivo é calcular a velocidade desse corpo no instante t = 2 segundos usando o conceito de derivada através do limite. Para isso, vamos precisar entender como calcular a derivada de uma função usando limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a taxa de variação dessa função naquele ponto. No contexto da física, se s(t) representa a posição, a derivada v(t) será a velocidade.
A fórmula da derivada pela definição de limite é:
v(t) = limh to 0 s(t + h) - s(t)h

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula à nossa função s(t) = 4,9t^2 . Primeiro, calculamos s(t + h) :
s(t + h) = 4,9(t + h)^2 = 4,9(t^2 + 2th + h^2) = 4,9t^2 + 9,8th + 4,9h^2

Passo 4

Agora, substituímos s(t + h) e s(t) na fórmula da derivada:
v(t) = limh to 0 4,9t^2 + 9,8th + 4,9h^2 - 4,9t^2h

Passo 5

Simplificando a expressão dentro do limite:
v(t) = limh to 0 9,8th + 4,9h^2h = limh to 0 (9,8t + 4,9h)

Passo 6

Agora, ao calcular o limite quando h tende a zero:
v(t) = 9,8t + 4,9 times 0 = 9,8t

Passo 7

Então, a velocidade em função do tempo é:
v(t) = 9,8t

Resposta

No instante t = 2 segundos, a velocidade do corpo é:
v(2) = 9,8 times 2 = 19,6 m/s

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