Calcule os seguintes limites, usando os limites notáveis sempre que for possível.
lim x 1 sen(x^2-1)x^3-3 x^2-x+3

Passo 1

Beleza, o exercício pede para calcular
limxto 1 sinl(x^2-1r),x^3-3x^2 -x+3,
Isso faz parte de Limites e aqui a gente vai usar dois macetes principais:
  1. identificar que a expressão dá uma forma 0/0;
  2. usar fatoração e o “limite notável”
limuto0sin(u)u=1

Passo 2

Primeiro, vamos ver que é mesmo 0/0. Se você coloca x=1:
  • Numerador: sin(1^2-1)=sin(0)=0.
  • Denominador: 1^3-3cdot1^2-1+3=1-3-1+3=0.
    Logo, 0/0 é indeterminado e dá para manipular.

Passo 3

Hora de fatorar o denominador. Observe:
x^3-3x^2 -x+3 = (x^3-3x^2) ;+;(-x+3) = x^2(x-3);-;1(x-3) = (x^2-1),(x-3)
Então a fração vira
sinl(x^2-1r)(x^2-1),(x-3) =sinl(x^2-1r)x^2-1;times;1x-3

Passo 4

Agora faz a mudança de variável clássica dos limites notáveis:
defina u = x^2-1. Quando xto1, uto0.
A primeira parte sin(u)u tende a 1 (é o limite notável).
A segunda parte 1x-3, ao xto1, vira 11-3=,-tfrac12.
Multiplicando dá
1 times l(-tfrac12r) = -tfrac12

Resposta

boxed-tfrac12

Exercícios relacionados