Resolva o seguinte PVI:
x^2 y^prime+x y=x cos x, x>0, y(pi2)=0

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
x^2y' + x,y = xcos x, x>0, yl(pi2r)=0
Este é um caso de equação diferencial linear de primeira ordem da forma
y' + P(x),y = Q(x)
Vamos identificar P(x) e Q(x), calcular o fator integrante mu(x), obter a solução geral e, por fim, usar a condição inicial.

Passo 2

Dividimos toda a equação por x^2 (permitido pois x>0), ficando
y' + 1x,y = cos xx
Aqui temos
P(x)=1x, Q(x)=cos xx

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = exp!l(integral P(x),dxr) = exp!l(integral 1x,dxr) = x
Multiplicando a forma padrão por mu(x), obtemos
x,y' + y = cos x,
que é exatamente
ddxl(x,yr) = cos x

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddxl(x,yr),dx = integral cos x,dx Longrightarrow x,y = sin x + C
Assim, a solução geral é
y(x) = sin xx + Cx

Passo 5

Usamos yl(tfracpi2r)=0:
0 = sin(pi/2)pi/2 + Cpi/2 = 1pi/2 + 2Cpi = 2pi + 2Cpi
Multiplicando por pi/2 1 + C = 0, logo
C = -1

Resposta

y(x) = sin xx - 1x = sin x - 1x

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