Resolva o problema de valor inicial:
l t^3 y^prime+4 t^2 y=e^-t y(-1)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
t^3y' + 4t^2y = e^-t, y(-1)=0,
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação em forma padrão dividindo por t^3 (para tneq0):
y' + 4ty = t^-3e^-t

Passo 3

O fator integrante é
mu(t) = expl(integral 4t,dtr) = exp(4ln|t|) = t^4,
considerando o domínio t<0 para usar a condição inicial.

Passo 4

Multiplicando a forma padrão por mu(t)=t^4 obtemos
t^4y' + 4t^3y = t,e^-t,
que é exatamente
ddtl(t^4yr) = t,e^-t

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
t^4y = integral t,e^-t,dt + C = -l(t+1r)e^-t + C

Passo 6

Isolando y temos
y = -l(t+1r)e^-t + Ct^4

Passo 7

Usamos a condição inicial y(-1)=0:
0 = -l((-1)+1r)e^-(-1) + C(-1)^4 = 0 + C1 Longrightarrow C=0

Passo 8

Substituindo C=0 na expressão de y, a solução do problema de valor inicial é
y(t) = -(t+1)e^-tt^4

Resposta

y(t) = -(t+1)e^-tt^4

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