Encontre a solução explícita da equação diferencial:
(1+x) y^prime prime=y^prime

Passo 1

O enunciado pede para resolver explicitamente a equação diferencial de segunda ordem
(1+x),y'' = y'
Esse tipo de equação pode ser reduzido de ordem definindo p(x)=y'(x) e depois separando variáveis. Vamos usar essa estratégia.

Passo 2

Defina p(x)=y'(x). Então y''=p' e a equação fica
(1+x),p' = p
Isso é uma equação de primeira ordem para p, separável.

Passo 3

Separe variáveis e integre:
p'p = 11+x Longrightarrow integral p'p,dx = integral 11+x,dx
lnlvert prvert = lnlvert 1+xrvert + C1 Longrightarrow p = C2,(1+x),
onde C2 = pm e^C1 é constante de integração.

Passo 4

Agora voltamos a y'. Temos
y' = p = C2,(1+x)
Integramos novamente para y:
y = integral C2,(1+x),dx = C2l(x + tfracx^22r) + C3
Reescrevendo as constantes, a solução geral fica

Resposta

y(x) = C1,(1+x)^2 + C2,
com C1,C2 constantes arbitrárias.

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