Calcule os seguintes limites, usando os limites notáveis sempre que for possível.
lim x 0(2sen^2 x-11-cos x)

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto 0l(2sin^2 x-11-cos xr)
Isso é um problema de limites onde vamos usar dois conteúdos fundamentais:
  1. Limites notáveis / séries de Taylor de sin x e cos x perto de 0.
  2. Expansão de potências para obter termos até ordem x^2 no resultado final.

Passo 2

Primeiro, lembramos a expansão de Taylor de sin x em torno de 0:
sin x = x - x^36 + O(x^5)
Isso significa que, para x bem pequeno, sin x é quase x, mas tem uma “correção” -tfracx^36 que precisamos para pegar termos constantes no limite.

Passo 3

Agora fazemos
sin^2 x = l(x - tfracx^36 + O(x^5)r)^2 = x^2 - 2cdot xcdottfracx^36 + O(x^6) = x^2 - x^43 + O(x^6)
Então
2sin^2 x = 2x^2l(1 - tfracx^23 + O(x^4)r) = 2x^2,11 - tfracx^23 + O(x^4) = 2x^2l(1 + tfracx^23 + O(x^4)r),
onde usamos 11-a=1+a+O(a^2). Assim
2sin^2 x = 2x^2 + 23 + O(x^2)

Passo 4

Agora a parte com o cosseno. A expansão de Taylor de cos x é
cos x = 1 - x^22 + x^424 + O(x^6)
Logo
1-cos x = x^22 - x^424 + O(x^6) = x^22l(1 - tfracx^212 + O(x^4)r)
Então
11-cos x = 1tfracx^22, 11 - tfracx^212 + O(x^4) = 2x^2l(1 + tfracx^212 + O(x^4)r) = 2x^2 + 16 + O(x^2)

Passo 5

Basta subtrair as duas expansões:
2sin^2 x - 11-cos x = l(2x^2 + tfrac23 + O(x^2)r) - l(2x^2 + tfrac16 + O(x^2)r)
Os termos tfrac2x^2 se cancelam, e sobra
23 - 16 + O(x^2) = 46 - 16 + O(x^2) = 36 + O(x^2) = 12 + O(x^2)
Quando xto0, o O(x^2)to0, restando tfrac12.

Resposta

boxed12

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