Calcule os seguintes limites, usando os limites notáveis sempre que for possível.
Passo 1
O enunciado pede o limite
Isso é um problema de limites onde vamos usar dois conteúdos fundamentais:
- Limites notáveis / séries de Taylor de
e perto de . - Expansão de potências para obter termos até ordem
no resultado final.
Passo 2
Primeiro, lembramos a expansão de Taylor de
em torno de
:
Isso significa que, para
bem pequeno,
é quase
, mas tem uma “correção”
que precisamos para pegar termos constantes no limite.
Passo 3
Agora fazemos
Então
onde usamos
. Assim
Passo 4
Agora a parte com o cosseno. A expansão de Taylor de
é
Logo
Então
Passo 5
Basta subtrair as duas expansões:
Os termos
se cancelam, e sobra
Quando
, o
, restando
.