Encontre a solução geral explícita da equação:
x d yd x=y+x e^y / x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
xdydx=y + x e^y/x
Isso é uma equação de primeira ordem em que o lado direito pode ser escrito em função apenas de y/x, indicando um caso de equação homogênea. Vamos usar a substituição
u = yx,
isto é, y = x,u.

Passo 2

Derivando y = x,u em relação a x obtemos
dydx = u + xdudx
Substituindo na equação original:
xl(u + xdudxr) = x u + x e^u
Expandindo e cancelando x u de ambos os lados resulta
x^2dudx = x e^u Longrightarrow xdudx = e^u

Passo 3

Agora a equação para u é separável:
due^u = dxx
Integramos ambos os lados:
integral e^-u,du = integral dxx Longrightarrow -,e^-u = lnl|xr| + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Reorganizando, escrevemos
e^-u = -,lnl|xr| - C
Definindo uma nova constante arbitrária K = -C, fica
e^-u = K - lnl|xr|
Como u = y/x, obtemos a solução implícita
e^-,y/x + lnl|xr| = K

Passo 5

Para deixar em forma explícita, isolamos y. Da igualdade
e^-,y/x = K - lnl|xr|
temos
-,yx = lnl(K - ln|x|r) Longrightarrow y = -,x;ln!l(K - ln|x|r)

Resposta

A solução geral explícita da equação é
boxedy = -,x;ln!l(C - lnlvert xrvertr),
onde C é uma constante arbitrária.

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