Mostre que a EDO é linear e resolva:
x y^prime+(1+1x) y=e^1 / x, x>0

Passo 1

O enunciado dá a EDO
x,y'(x)+l(1+1xr)y(x)=e^1/x, x>0,
e pede para mostrarmos que ela é linear de primeira ordem e, em seguida, resolvê-la. O conteúdo é a técnica de fator integrante para equações lineares no formato
y'+p(x),y=q(x)

Passo 2

Para pôr em forma padrão, dividimos tudo por x (válido pois x>0):
y'(x)+underbracel(1x+1x^2r)p(x),y(x) =underbracee^1/xxq(x)
Assim, confirmamos que é uma EDO linear de primeira ordem com p(x)=1/x+1/x^2 e q(x)=e^1/x/x.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x)=expl(integral p(x),dxr) =expl(integrall(tfrac1x+tfrac1x^2r),dxr) =expl(ln x-1/xr) =x,e^-1/x

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x):
x,e^-1/x,y' +l(tfrac1x+tfrac1x^2r),x,e^-1/x,y =e^1/xx,x,e^-1/x
O lado esquerdo é exatamente l(mu(x),y(x)r)', e o direito simplifica para 1:
l(x,e^-1/x,yr)'=1

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x,e^-1/x,y=integral 1,dx = x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Isolando y, obtemos
y(x)=x+C,x,e^-1/x! =(1+tfrac Cx),e^1/x

Resposta

boxedy(x)=l(1+tfrac Cxr),e^1/x, CinR

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