Calcule os seguintes limites, usando os limites notáveis sempre que for possível.
lim x +infty[x(ln (x-1)-ln x)]

Passo 1

Opa, o que temos aqui é o limite
limxto+infty xl(ln(x-1) - ln xr)
Isso é cálculo de limites, e vamos usar:
  1. a propriedade de log ln a - ln b = lnl(tfrac a br)
  2. o limite notável limuto0ln(1+u)u = 1.

Passo 2

Então, bora simplificar essa diferença de log:
ln(x-1) - ln x = ln!l(tfracx-1xr) = lnl(1 - tfrac1xr)
Logo o nosso limite vira
limxto+infty x,lnl(1 - tfrac1xr)

Passo 3

Pra usar o notável, escrevemos
x,lnl(1 - tfrac1xr) = lnl(1 - tfrac1xr)1/x
Agora define u = -tfrac1x. Quando xto+infty, a gente tem uto0, e a expressão fica
ln(1+u)-u = -ln(1+u)u

Passo 4

Como uto0, pelo limite notável ln(1+u)uto1, então tudo converge para -1.

Resposta

-1

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