Questão 19. (Definição de Limite)
Demonstre cada afirmação usando a definição por epsilon e de<a.
lim x 4(12 x-1)=1

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente provar que
limxto4l(tfrac12x-1r)=1
usando a definição formal de limite (ε–δ). Ou seja, temos de mostrar que:
“para todo ε>0 existe δ>0 tal que, sempre que 0<|x−4|<δ, a gente tenha |f(x)−1|<ε”,
onde f(x)=tfrac12x-1.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar |f(x)-1| em função de |x-4|.
|f(x)-1| =l|tfrac12x-1-1r| =l|tfrac12x-2r| =tfrac12,|x-4|
Aqui a teoria usada é simplesmente a propriedade de valor absoluto de soma e fatoração:
l|tfrac12x-2r| = tfrac12,|x-4|.

Passo 3

Agora, para garantir |f(x)-1|<varepsilon, basta ter
tfrac12,|x-4|<varepsilon Long<=ftrightarrow |x-4|<2varepsilon
Então escolhemos
de<a = 2varepsilon
Dessa forma, sempre que 0<|x-4|<de<a, vem
|f(x)-1| = tfrac12,|x-4| < tfrac12,de<a = varepsilon,
batendo direitinho com a definição de limite.

Resposta

Definindo de<a=2varepsilon, satisfazemos a condição ε–δ e, portanto,
limxto4l(tfrac12x-1r)=1

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