Resolva a equação:
y^prime+1-2 xx y=e^2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
y' + 1-2xx,y = e^2x
Aqui o conteúdo é equações lineares de 1ª ordem, e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Identificamos
p(x)=1-2xx= 1x - 2, q(x)=e^2x
O fator integrante é
mu(x)=expl(integral p(x),dxr) =expl(integrall(tfrac1x-2r),dxr) =expl(ln x-2xr) = x,e^-2x

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(x), obtendo
x e^-2x,y' + x e^-2xl(tfrac1x-2r)y =;x e^-2xe^2x Longrightarrow ddxl(x e^-2xyr)=x
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
x e^-2xy = integral x,dx = x^22 + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Despejando y, temos
y = x^22+Cx e^-2x = l(x^22+Cr)e^2xx = x2,e^2x + C,e^2xx

Resposta

y(x) = x2,e^2x + C,e^2xx,
onde C é a constante de integração.

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