Calcule os seguintes limites usando a Regra de Lb) lim x 0 x+sen 2 xx-sen 2 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto0x+sin(2x)x-sin(2x)
usando a Regra de L’Hôpital. O conteúdo envolve limites de funções que resultam na forma indeterminada tfrac00, e para resolver isso aplicamos l’Hôpital, isto é, diferenciamos numerador e denominador.

Passo 2

Primeiro verificamos a forma indeterminada ao substituirmos x=0:
x+sin(2x)|x=0=0+sin(0)=0, x-sin(2x)|x=0=0-sin(0)=0
Logo temos a forma tfrac00 e podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Pela Regra de L’Hôpital, diferenciamos numerador e denominador em relação a x:
Numerador:
ddxl(x+sin(2x)r) =1 + 2cos(2x)
Denominador:
ddxl(x-sin(2x)r) =1 - 2cos(2x)

Passo 4

Agora o limite original é igual ao limite das derivadas:
limxto01+2cos(2x)1-2cos(2x)
Substituindo x=0 temos cos(2cdot0)=1, então
1+2cdot11-2cdot1 =3-1 =-3

Resposta

-3

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