Utilizando a série binomial escreva as funçōes como séries de potèncias e diga seus raice de convergéncia
Passo 1
O enunciado pede para usar a série binomial e escrever
como uma série de potências centrada em
, além de determinar o raio de convergência dessa série. Vamos aplicar o teorema da série binomial.
Passo 2
O teorema da série binomial diz que, para qualquer
,
desde que
, onde
Passo 3
Aqui temos
e
. Logo
Passo 4
Vamos ver a forma explícita de
e os primeiros termos. Para
:
Em particular:
e assim por diante. Logo a série se escreve
Passo 5
Para o raio de convergência
podemos usar o teste da razão entre coeficientes:
de onde a série converge se
|x|<1 . Também sabemos que a série binomial clássica requer
|x|<1 . Portanto
Resposta
com raio de convergência
R=1 .