Utilizando a série binomial escreva as funçōes como séries de potèncias e diga seus raice de convergéncia
f(x)=raizx+1

Passo 1

O enunciado pede para usar a série binomial e escrever
f(x)=raizx+1 = (1+x)^tfrac12
como uma série de potências centrada em 0, além de determinar o raio de convergência dessa série. Vamos aplicar o teorema da série binomial.

Passo 2

O teorema da série binomial diz que, para qualquer alphainR,
(1+t)^alpha ;=;sumn=0^infty binomalphan ,t^n,
desde que |t|<1, onde
binomalphan = alpha(alpha-1)(alpha-2)cdots(alpha-n+1)n!

Passo 3

Aqui temos alpha=tfrac12 e t=x. Logo
raiz1+x = (1+x)^tfrac12 = sumn=0^infty binomtfrac12n ,x^n

Passo 4

Vamos ver a forma explícita de binomtfrac12n e os primeiros termos. Para n>=1:
binomtfrac12n = tfrac12l(tfrac12-1r)l(tfrac12-2r)cdotsl(tfrac12-n+1r)n!
Em particular:
binomtfrac120=1, binomtfrac121=12, binomtfrac122=tfrac12cdot(-tfrac12)2!=-18, binomtfrac123=tfrac12cdot(-tfrac12)cdot(-tfrac32)3!=116,
e assim por diante. Logo a série se escreve
raiz1+x =1+12x-18x^2+116x^3-cdots

Passo 5

Para o raio de convergência R podemos usar o teste da razão entre coeficientes:
limntoinftyl|tfracbinom1/2n+1binom1/2nr| =1,
de onde a série converge se |x|<1. Também sabemos que a série binomial clássica requer |x|<1. Portanto
R=1

Resposta

raiz1+x = sumn=0^infty binomtfrac12n,x^n =1+12x-18x^2+116x^3-cdots,
com raio de convergência R=1.

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