Calcule os seguintes limites usando a Regra de LHospital:
lim x 0 x+sen 2 xx-sen 2 x

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto 0x+sin(2x)x-sin(2x)
usando a Regra de L’Hôpital. Para isso, precisamos verificar que a forma é indeterminada tfrac00 e então derivar numerador e denominador.

Passo 2

Substituindo x=0 no numerador e no denominador, temos
0 + sin(0)=0 e 0 - sin(0)=0,
logo a expressão é da forma indeterminada tfrac00. Podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Derivamos numerador e denominador em relação a x:
ddxl(x + sin(2x)r) = 1 + 2cos(2x),
ddxl(x - sin(2x)r) = 1 - 2cos(2x)

Passo 4

Pela Regra de L’Hôpital, o limite vale
limxto01 + 2cos(2x)1 - 2cos(2x)
Agora basta substituir x=0:
1 + 2cdotcos(0)1 - 2cdotcos(0) = 1 + 2cdot11 - 2cdot1 = 3-1 = -3

Resposta

-3

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