Deseja-se construir uma pista de atletismo com comprimento total de 500 metros. A pista tem a forma de uma curva fechada formada por dois segmentos de reta congruentes e paralelos conectados por duas semicircunferências de mesmo raio. Determine as dimensões dos segmentos e do raio das semicircunferências para que a área interna delimitada pela pista seja a maior possível.

Passo 1

Resumindo o enunciado: vamos construir uma pista formada por dois segmentos retos congruentes de comprimento L, paralelos entre si, ligados por duas semicircunferências de raio r. O comprimento total da pista é 500 m e queremos que a área interna seja máxima. O conteúdo aqui é otimização com restrição, usando substituição e derivada para encontrar máximo.

Passo 2

Escrevendo a restrição do perímetro: a pista tem dois trechos retos de comprimento L e duas semicircunferências que juntas formam um círculo de circunferência 2pi r. Logo,
2L + 2pi r = 500
Desse modo isolamos
L = 250 - pi r

Passo 3

Agora expressamos a área interna A. Ela é dada pela área de um retângulo de base L e altura 2r somada à área do círculo de raio r:
A = L cdot (2r) + pi r^2
Substituindo L = 250 - pi r obtemos
A(r) = 2r,(250 - pi r) + pi r^2 = 500r - 2pi r^2 + pi r^2 = 500r - pi r^2

Passo 4

Para maximizar A(r) calculamos a derivada e anulamos:
A'(r) = 500 - 2pi r = 0 Longrightarrow r = 5002pi = 250pi
Como A''(r) = -2pi < 0, esse ponto é de máximo.

Passo 5

Calculamos L correspondente:
L = 250 - pi!l(tfrac250pir) = 250 - 250 = 0
Ou seja, a configuração de área máxima é degenerada: não há trecho reto e a pista vira um círculo.

Resposta

Raio das semicircunferências:
r = 250pi m,
comprimento de cada segmento reto:
L = 0 m,
isto é, a pista de área máxima é simplesmente um círculo de perímetro 500 m.

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