Deseja-se construir uma pista de atletismo com comprimento total de 500 metros. A pista tem a forma de uma curva fechada formada por dois segmentos de reta congruentes e paralelos conectados por duas semicircunferências de mesmo raio. Determine as dimensões dos segmentos e do raio das semicircunferências para que a área interna delimitada pela pista seja a maior possível.
Passo 1
Resumindo o enunciado: vamos construir uma pista formada por dois segmentos retos congruentes de comprimento
, paralelos entre si, ligados por duas semicircunferências de raio
. O comprimento total da pista é
m e queremos que a área interna seja máxima. O conteúdo aqui é otimização com restrição, usando substituição e derivada para encontrar máximo.
Passo 2
Escrevendo a restrição do perímetro: a pista tem dois trechos retos de comprimento
e duas semicircunferências que juntas formam um círculo de circunferência
. Logo,
Desse modo isolamos
Passo 3
Agora expressamos a área interna
. Ela é dada pela área de um retângulo de base
e altura
somada à área do círculo de raio
:
Substituindo
obtemos
Passo 4
Para maximizar
calculamos a derivada e anulamos:
Como
, esse ponto é de máximo.
Passo 5
Calculamos
correspondente:
Ou seja, a configuração de área máxima é degenerada: não há trecho reto e a pista vira um círculo.
Resposta
Raio das semicircunferências:
comprimento de cada segmento reto:
isto é, a pista de área máxima é simplesmente um círculo de perímetro
m.