A região limitada pelo eixo
e pelos gráficos de
e
gira em torno do eixo
. Faça um esboço da região e do sólido obtido na rotação e determine seu volume. [Resposta:
].
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo
, a região do plano limitada por:
- o eixo
(ou seja, ), - a curva
, - as retas horizontais
e .
O assunto aqui é volume de sólidos de revolução e vamos usar o método de discos (ou anéis) com seções transversais perpendiculares ao eixo
.
Passo 2
Para visualizar a região no plano
:
— Como , isolamos
.
— A região fica entre e
, à direita pelo ramo
e à esquerda pelo eixo
.
Girando isso em torno do eixo , cada seção em altura
gera um disco de raio externo
— Como
— A região fica entre
Girando isso em torno do eixo
e raio interno zero.
Passo 3
Pelo método de discos, o volume é
Passo 4
Calculemos a integral:
Assim,
Como
, vem