A região limitada pelo eixo y e pelos gráficos de y=x^3, y=1 e y=8 gira em torno do eixo y. Faça um esboço da região e do sólido obtido na rotação e determine seu volume. [Resposta: V=935 pi ].

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo y, a região do plano limitada por:
  • o eixo y (ou seja, x=0),
  • a curva y=x^3,
  • as retas horizontais y=1 e y=8.
O assunto aqui é volume de sólidos de revolução e vamos usar o método de discos (ou anéis) com seções transversais perpendiculares ao eixo y.

Passo 2

Para visualizar a região no plano xy:
— Como y=x^3, isolamos x=y^1/3.
— A região fica entre y=1 e y=8, à direita pelo ramo x=y^1/3 e à esquerda pelo eixo x=0.
Girando isso em torno do eixo y, cada seção em altura y gera um disco de raio externo
R(y)=xdireita=y^1/3
e raio interno zero.

Passo 3

Pelo método de discos, o volume é
V = integraly=1^y=8 pil[R(y)r]^2,dy = integral1^8 pil(y^1/3r)^2,dy = integral1^8 pi,y^2/3,dy

Passo 4

Calculemos a integral:
integral y^2/3,dy = y^5/35/3 = 35,y^5/3
Assim,
V = pi [35,y^5/3]1^8 = 3pi5l(8^5/3-1^5/3r)
Como 8^5/3=(8^1/3)^5=2^5=32, vem
V = 3pi5(32-1) = 3pi5times 31 = 935,pi

Resposta

V = 935,pi

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