Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a transformada de Laplace da função f(t) definida de forma diferente em intervalos de tempo. A matéria envolvida aqui é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para isso, vamos usar a definição da transformada e a propriedade das funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função [f(t)) está definida:
Isso significa que , cresce linearmente de até , e depois volta a ser zero.
Passo 3
A transformada de Laplace de uma função f(t) , denotada por Lf(t) , é definida por:
Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt
Como f(t) é diferente de zero apenas entre t = 3 e t = 6 , podemos limitar os limites da integral para esse intervalo:
Lf(t) = integral3^6 e^-st (t - 3) , dt
Passo 4
Vamos resolver a integral integral3^6 e^-st (t - 3) , dt . Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
u = t - 3 Rightarrow du = dt
dv = e^-st dt Rightarrow v = -1s e^-st
Aplicando a fórmula de integração por partes integral u , dv = uv - integral v , du :