Calcule a transformada de Laplace da função f(t)=ll0, & t<3 t-3, & 3 <= t<6 0, & t >= 6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a transformada de Laplace da função f(t) definida de forma diferente em intervalos de tempo. A matéria envolvida aqui é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para isso, vamos usar a definição da transformada e a propriedade das funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função [f(t)) está definida:
Isso significa que , cresce linearmente de até , e depois volta a ser zero.

Passo 3

A transformada de Laplace de uma função f(t) , denotada por Lf(t) , é definida por:
Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt
Como f(t) é diferente de zero apenas entre t = 3 e t = 6 , podemos limitar os limites da integral para esse intervalo:
Lf(t) = integral3^6 e^-st (t - 3) , dt

Passo 4

Vamos resolver a integral integral3^6 e^-st (t - 3) , dt . Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
u = t - 3 Rightarrow du = dt
dv = e^-st dt Rightarrow v = -1s e^-st
Aplicando a fórmula de integração por partes integral u , dv = uv - integral v , du :
integral3^6 e^-st (t - 3) , dt = -1s (t - 3) e^-st |3^6 + 1s integral3^6 e^-st , dt
Aí a gente calcula os termos:
-1s (t - 3) e^-st |3^6 = -1s (6 - 3) e^-6s + 1s (3 - 3) e^-3s = -3s e^-6s
E a segunda integral:
1s integral3^6 e^-st , dt = 1s [ -1s e^-st ]3^6 = 1s ( -1s e^-6s + 1s e^-3s ) = 1s^2 (e^-3s - e^-6s)

Passo 5

Agora, juntando os dois resultados:
Lf(t) = -3s e^-6s + 1s^2 (e^-3s - e^-6s) = e^-3ss^2 - ( 3s + 1s^2 ) e^-6s

Resposta

A transformada de Laplace da função f(t) é:
Lf(t) = e^-3ss^2 - ( 3s + 1s^2 ) e^-6s

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