Resolva as integrais abaixo
integral-pi^pi d x1-cos (x)

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral imprópria
I = integral-pi^pi dx1 - cos(x)
Vamos usar a simetria da função e verificar a convergência em x=0, onde o denominador se anula.

Passo 2

Como cos(-x)=cos(x), a função
f(x)=11-cos(x)
é par. Portanto
I = 2 integral0^pi dx1-cos(x)
Para estudar a convergência em x=0, usamos a identidade
1-cos(x)=2sin^2!l(tfracx2r)
Assim
11-cos(x) = 12sin^2(x/2) = 12 csc^2!l(tfracx2r)

Passo 3

Analisamos o comportamento em xto0. Sabemos que sin(x/2)sim x/2 quando x é pequeno, logo
csc^2!l(tfracx2r) =1sin^2(x/2) sim 1(x/2)^2 =4x^2
Portanto, próximo de zero,
12csc^2!l(tfracx2r)sim12cdot4x^2=2x^2
E sabemos que
integral0^varepsilon2x^2,dx = l[-2xr]0^varepsilon to +infty,
ou seja, diverge.

Passo 4

Como a integral em torno de x=0 é divergente, conclui-se que
integral-pi^pi dx1-cos(x)
não converge.

Resposta

A integral diverge.

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