Calcule os seguintes limites usando a regra de L’Hospital:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas explicitamente:
- A expressão do limite mostrada acima.
Informações que NÃO foram dadas (e que são relevantes): - Não foi fornecida a definição de
nem o comportamento de quando .
Portanto, neste passo ficou claro o que se pede e que falta informação essencial sobre.
Passo 2
O que precisamos para decidir o valor do limite.
Explicando a regra de L’Hospital (didaticamente, sem pular passos):
Explicando a regra de L’Hospital (didaticamente, sem pular passos):
- A regra de L’Hospital pode ser aplicada quando a forma do limite é indeterminada tipo
ou . - Em palavras: se
e , ou se ambos tendem a , e são diferenciáveis perto de com perto de (exceto talvez em ), então
quando o limite à direita existir (ou for
).
- Cada símbolo:
é numerador, é denominador, é o ponto de limite; e são derivadas. - Importante: só usar L’Hospital se a forma inicial for
ou . Se a forma for, por exemplo, , aí o limite é imediatamente e não se aplica L’Hospital.
Passo 3
Análise das formas possíveis do limite dado a ausência de informação sobre
. Vamos listar os casos que podem ocorrer e o que cada caso implica (sempre explicando por que):
Caso 1 —
para algum número finito
tal que
.
- Então
, um número finito. - Como
quando , a razão tende a
- Conclusão: neste caso o limite vale
. Não se precisa de L’Hospital.
Caso 2 —
para algum inteiro
(ou seja,
tende a um múltiplo de
onde
é zero). Este caso é mais delicado porque
pode explodir.
- Comportamento local quando
: . Ou seja, para pequeno,
- Aplicando isso com
(se ) obtemos que tende a na mesma velocidade em que . - Então o quociente tem a forma
, que é essencialmente um caso indeterminado: aí a regra de L’Hospital pode ser tentada. - Para aplicar L’Hospital neste cenário, calculemos as derivadas (regra da cadeia):
- Logo, se L’Hospital puder ser usado, o limite (quando existir) será
desde que a forma original fosse
e as derivadas cumpram as hipóteses.
- Observação: para encontrar esse limite final é preciso saber o comportamento de
e de quando . Sem essa informação não dá para concluir numericamente.
Caso 3 —
não tem limite (por exemplo, oscila ou diverge).
- Como
é periódica e singular em múltiplos de , sem conhecimento do comportamento de não é possível afirmar um único valor para o limite; ele pode não existir ou pode divergir, dependendo de como se comporta.
Passo 4
Critérios simples que resolvem sem muita derivada (úteis para a prova):
- Se existir
e tais que para (ou seja, não se aproxima de nenhum múltiplo de ), então e assim o numerador é limitado. Como , segue que o limite é . Este é um critério prático: se fica longe de pontos onde explode, o limite é . - Se
e tende a como alguma taxa conhecida (por exemplo, proporcional a a função ou a ), dá para aplicar a expansão e/ou L’Hospital para obter a resposta específica (exemplos a seguir).
Passo 5
Exemplos concretos (para aprender a aplicar a técnica na prova):
Exemplo A:
.
- Aqui
, logo . Forma inicial é (na prática em módulo), aplicamos L’Hospital:
- Para
pequeno, , então . - Resultado: para
, o limite é .
Exemplo B:
.
- Similarmente, aplicar L’Hospital leva a
- Como
, o produto . - Resultado: para
, o limite é .
Exemplo C:
com
.
- Como explicado, então
finito e o limite é .
Passo 6
Resumo do que é necessário para responder definitivamente ao problema original:
- Para determinar
é obrigatório saber o comportamento de quando (por exemplo, seu limite, se existe; ou a taxa com que se aproxima de um múltiplo de ; ou o comportamento de se for usar L’Hospital). - Sem essa informação a única conclusão correta é que o limite é indeterminado (não pode ser fixado) e que diferentes escolhas de
dão respostas distintas (ex.: para muitos que evitam múltiplos de ; para ou ; inexistência para casos oscilantes).
Resposta
Não é possível determinar o valor do limite sem mais informações sobre
quando
.