Calcule os seguintes limites usando o Teorema da (d) lim x 1 1-raizxx^2-1

Passo 1

Vamos resolver o limite usando um teorema de cálculo que nos ajuda quando temos uma forma indeterminada como . Aqui, estamos trabalhando com limites e derivadas, então vamos precisar entender como aplicar a regra de L’Hospital para resolver esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos 1 - raiz11^2 - 1 = 1 - 11 - 1 = 00 na expressão:
Essa forma é indeterminada, o que significa que precisamos usar uma técnica especial para encontrar o limite. Aqui, vamos aplicar a Regra de L’Hospital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 3

Agora, vamos derivar o numerador e o denominador em relação a ddx(1 - raizx) = 0 - 12raizx = -12raizx .
Derivada do numerador ddx(x^2 - 1) = 2x :
Derivada do denominador :

Passo 4

Com as derivadas, aplicamos a Regra de L’Hospital:
limx 1 1-raizxx^2-1 = limx 1 -12raizx2x = limx 1 -14xraizx

Passo 5

Agora, substituímos -14 cdot 1 cdot raiz1 = -14 cdot 1 cdot 1 = -14 na expressão obtida:

Resposta

O limite é .

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