Calcule os seguintes limites usando o Teorema do Confronto:

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto 0 x^2,sinl(tfrac1x^2r) usando o Teorema do Confronto. O conteúdo envolve limites e precisamos usar que a função seno é limitada e o Teorema do Confronto para funções espremidas.

Passo 2

O Teorema do Confronto diz que se tivermos três funções f(x), h(x) e g(x) tais que f(x) <= h(x) <= g(x) quando x se aproxima de um ponto a, e limxto af(x)=limxto ag(x)=L, então limxto ah(x)=L.

Passo 3

Sabemos que para todo xneq0 vale
-1 <= sinl(tfrac1x^2r) <= 1

Passo 4

Como x^2>=0, podemos multiplicar a desigualdade por x^2 sem inverter sinais e obter:
-,x^2 <= x^2,sinl(tfrac1x^2r) <= x^2

Passo 5

Agora calculamos os limites das funções de contorno:

Passo 6

Como x^2,sin(1/x^2) está “espremido” entre duas funções que tendem a zero, pelo Teorema do Confronto concluímos que

Resposta

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