Verificar a identidade proposta para cada função dada:
x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=z+2 x

Passo 1

A função dada é e queremos verificar a identidade
z = x ln(x^2+y^2) - 2y,arctgl(tfrac yxr)
O conteúdo de matéria é derivadas parciais, e vamos usar regra do produto, regra da cadeia e derivada de xpartial zpartial x + ypartial zpartial y = z + 2x e .

Passo 2

Vamos calcular partial zpartial x dividindo em dois termos e usando produto e cadeia:
Derivada de xln(x^2+y^2):
partialpartial xl[xln(x^2+y^2)r] = ln(x^2+y^2) + xcdot1x^2+y^2cdot2x = ln(x^2+y^2) + 2x^2x^2+y^2
Derivada de ( -2y,arctg(tfrac yx) é constante):
Somando, as frações somam y, então
partialpartial x[-2y,arctg(tfrac yx)] = -2ycdot11+(y/x)^2cdotl(-tfrac yx^2r) = 2y^2x^2+y^2

Passo 3

Agora calculamos partial zpartial y:
Derivada de xln(x^2+y^2) em relação a y:
partialpartial y[xln(x^2+y^2)] = xcdot1x^2+y^2cdot2y = 2xyx^2+y^2
Derivada de em relação a -2y,arctg(tfrac yx), usando produto e cadeia:
Somando ambos os termos, os y se cancelam e temos

Passo 4

Por fim fazemos a combinação linear:
Repare que , logo a soma é xpartial zpartial x + ypartial zpartial y = xl(ln(x^2+y^2)+2r) + yl(-2arctg(tfrac yx)r) = xln(x^2+y^2) -2yarctg(tfrac yx) +2x , exatamente o que queríamos.

Passo 5

Resposta

A identidade é verificada, pois de fato x,zx + y,zy = z + 2x.

Exercícios relacionados