Verificar a identidade proposta para cada função dada:
x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=z+2 x
Passo 1
A função dada é e queremos verificar a identidade
O conteúdo de matéria é derivadas parciais, e vamos usar regra do produto, regra da cadeia e derivada de
e .
Passo 2
Vamos calcular
dividindo em dois termos e usando produto e cadeia:
Derivada de
:
Derivada de (
é constante):
Somando, as frações somam
, então
Passo 3
Agora calculamos
:
Derivada de
em relação a
:
Derivada de em relação a
, usando produto e cadeia:
Somando ambos os termos, os
se cancelam e temos
Passo 4
Por fim fazemos a combinação linear:
Repare que , logo a soma é
, exatamente o que queríamos.
Passo 5
Resposta
A identidade é verificada, pois de fato
.