Verificar a identidade proposta para cada função dada:
z=x y^3-x^3 y ;
& y partial zpartial x+x partial zpartial y=y^4-x^4 & x partial zpartial x+y partial zpartial y=1

Passo 1

O enunciado pede para verificar duas identidades que envolvem derivadas parciais da função
z = x y³ – x³ y. O conteúdo é cálculo de derivadas parciais e combinações lineares delas.

Passo 2

Para começar, vamos calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y. Usando regras básicas de derivação, obtemos:
partial zpartial x = y^3 - 3x^2y,
partial zpartial y = 3xy^2 - x^3

Passo 3

Agora, substituindo na combinação y ∂z/∂x + x ∂z/∂y, temos:
yl(y^3 - 3x^2yr) + xl(3xy^2 - x^3r) = y^4 - 3x^2y^2 + 3x^2y^2 - x^4 = y^4 - x^4
Portanto, a primeira identidade é verificada.

Passo 4

Para a segunda, calculamos x ∂z/∂x + y ∂z/∂y. Substituindo:
xl(y^3 - 3x^2yr) + yl(3xy^2 - x^3r) = x y^3 - 3x^3y + 3x y^3 - x^3y = 4,(x y^3 - x^3y) = 4z
Isso mostra que essa combinação vale 4z e não 1, logo a segunda identidade não se verifica.

Resposta

A primeira identidade está correta: y ∂z/∂x + x ∂z/∂y = y⁴ – x⁴. A segunda não se verifica; na verdade x ∂z/∂x + y ∂z/∂y = 4z = 4(x y³ – x³ y).

Exercícios relacionados