Verificar a identidade proposta para cada função dada:
Passo 1
O enunciado pede para verificar duas identidades que envolvem derivadas parciais da função
z = x y³ – x³ y. O conteúdo é cálculo de derivadas parciais e combinações lineares delas.
z = x y³ – x³ y. O conteúdo é cálculo de derivadas parciais e combinações lineares delas.
Passo 2
Para começar, vamos calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y. Usando regras básicas de derivação, obtemos:
Passo 3
Agora, substituindo na combinação y ∂z/∂x + x ∂z/∂y, temos:
Portanto, a primeira identidade é verificada.
Passo 4
Para a segunda, calculamos x ∂z/∂x + y ∂z/∂y. Substituindo:
Isso mostra que essa combinação vale 4z e não 1, logo a segunda identidade não se verifica.
Resposta
A primeira identidade está correta: y ∂z/∂x + x ∂z/∂y = y⁴ – x⁴. A segunda não se verifica; na verdade x ∂z/∂x + y ∂z/∂y = 4z = 4(x y³ – x³ y).