Determine os intervalos onde as funções crescem ou decrescem, seus extremos relativos, e os intervalos onde são côncavas ou convexas, mostrando os pontos de inflexão.
2.
2.
Passo 1
Temos a função
. Vamos determinar onde ela cresce e decresce (monotonicidade), seus extremos relativos e a concavidade (segunda derivada) para achar os pontos de inflexão. Para isso, usaremos a primeira derivada para monotonicidade e a segunda para concavidade.
Passo 2
A primeira derivada é dado por
Os pontos críticos vêm de
, logo
implica em
Passo 3
Para estudar o sinal de
, note que o fator
é positivo se
e negativo se
. Assim, em cada intervalo:
-
: e ⇒ (decrescente). -
: e ⇒ (crescente). -
: e ⇒ (decrescente). -
: e ⇒ (crescente).
Passo 4
Com base nisso, identificamos os extremos relativos:
- Em
: muda de negativo para positivo ⇒ mínimo local com . - Em
: muda de positivo para negativo ⇒ máximo local com . - Em
: muda de negativo para positivo ⇒ mínimo local com .
Passo 5
A segunda derivada é
Pontos de inflexão ocorrem quando
, ou seja
resultando em
$$f\bigl(\pm\tfrac{1}{\sqrt{6}}\bigr)=\Bigl(\tfrac{1}{36}-\tfrac{1}{6}\Bigr)=-\tfrac{5}{36}.
$$
Passo 6
Para concavidade:
- Se
então ⇒ côncava para baixo. - Se
então ⇒ côncava para cima.
Assim temos os intervalos de concavidade e convexidade e os pontos de inflexão.
Passo 7
Concluindo todos os itens:
Resposta
Função crescente em
e decrescente em
.\nMínimos locais em
com
e máximo local em
com
.\nCôncava para baixo em
e côncava para cima em
.\nPontos de inflexão em
.