Determine os intervalos onde as funções crescem ou decrescem, seus extremos relativos, e os intervalos onde são côncavas ou convexas, mostrando os pontos de inflexão.
2.
f(x)=x^4-x^2

Passo 1

Temos a função f(x)=x^4-x^2. Vamos determinar onde ela cresce e decresce (monotonicidade), seus extremos relativos e a concavidade (segunda derivada) para achar os pontos de inflexão. Para isso, usaremos a primeira derivada para monotonicidade e a segunda para concavidade.

Passo 2

A primeira derivada é dado por
f'(x)=4x^3-2x=2x(2x^2-1)
Os pontos críticos vêm de f'(x)=0, logo
2x(2x^2-1)=0
implica em x=0 e x=pmtfrac1raiz2.

Passo 3

Para estudar o sinal de f', note que o fator 2x^2-1 é positivo se |x|>1/raiz2 e negativo se |x|<1/raiz2. Assim, em cada intervalo:
  • x<0: 2x^2-1>0 e f'<0 (-1/raiz2,0) (decrescente).
  • x<0: 2x^2-1<0 e f'>0 (0,1/raiz2) (crescente).
  • x>0: 2x^2-1<0 e f'<0 (1/raiz2,infty) (decrescente).
  • x>0: 2x^2-1>0 e f'>0 (crescente).

Passo 4

Com base nisso, identificamos os extremos relativos:
  • Em x=-1/raiz2: f' muda de negativo para positivo ⇒ mínimo local com f(-1/raiz2)=-tfrac14.
  • Em x=0: f' muda de positivo para negativo ⇒ máximo local com f(0)=0.
  • Em x=1/raiz2: f' muda de negativo para positivo ⇒ mínimo local com f(1/raiz2)=-tfrac14.

Passo 5

A segunda derivada é
f''(x)=ddx(4x^3-2x)=12x^2-2
Pontos de inflexão ocorrem quando f''(x)=0, ou seja
12x^2-2=0
resultando em x=pmtfrac1raiz6. Nessas abscissas,
$$f\bigl(\pm\tfrac{1}{\sqrt{6}}\bigr)=\Bigl(\tfrac{1}{36}-\tfrac{1}{6}\Bigr)=-\tfrac{5}{36}.
$$

Passo 6

Para concavidade:
  • Se |x|<1/raiz6 então 12x^2-2<0 ⇒ côncava para baixo.
  • Se |x|>1/raiz6 então 12x^2-2>0 ⇒ côncava para cima.
    Assim temos os intervalos de concavidade e convexidade e os pontos de inflexão.

Passo 7

Concluindo todos os itens:

Resposta

Função crescente em l(-tfrac1raiz2,0r)cupl(tfrac1raiz2,inftyr) e decrescente em l(-infty,-tfrac1raiz2r)cupl(0,tfrac1raiz2r).\nMínimos locais em x=pmtfrac1raiz2 com f=-tfrac14 e máximo local em x=0 com f=0.\nCôncava para baixo em l(-tfrac1raiz6,tfrac1raiz6r) e côncava para cima em l(-infty,-tfrac1raiz6r)cupl(tfrac1raiz6,inftyr).\nPontos de inflexão em l(pmtfrac1raiz6,-tfrac536r).

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