Mostre, utilizando a definição de limite por varepsilon e de, que
lim x a alpha x+beta=alpha a+beta,
onde alpha neq 0 e beta são números reais não nulos.

Passo 1

Temos a função f(x)=alpha x+beta e queremos mostrar, usando a definição varepsilon de de limite, que limx to a f(x)=alpha a+beta. Para isso, precisamos provar que, para todo varepsilon>0, existe de0 tal que, se 0<|x-a|, então |f(x)-(alpha a+beta)|.

Passo 2

Primeiro, calculamos a diferença |f(x)-(alpha a+beta)|. Temos
|f(x)-(alpha a+beta)| = |alpha x + beta - alpha a - beta| = |alpha|,|x - a|
Note que como alphaneq0, então |alpha|>0.

Passo 3

Dado varepsilon>0, basta escolher
de0
Assim, se 0<|x-a|, então
l|f(x)-(alpha a+beta)r| = |alpha|,|x - a| < |alpha|,de
Isso completa a demonstração de que limxto a(alpha x+beta)=alpha a+beta.

Resposta

limx a alpha x+beta = alpha a+beta

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