Calcule os seguintes limites usando o Teorema da (n)
com
constante
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite quando
se aproxima de
pela direita da seguinte expressão:
Vamos usar o Teorema de L’Hôpital aqui, que é útil quando temos limites do tipo
ou
. Primeiro, vamos verificar se temos esse tipo de indeterminação.
Passo 2
Quando
se aproxima de
pela direita (
):
- O numerador
se aproxima de porque . - O denominador
também se aproxima de porque .
Então, temos uma indeterminação do tipo
e podemos aplicar o Teorema de L’Hôpital.
Passo 3
Aplique o Teorema de L’Hôpital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente:
Vamos calcular essas derivadas.
Passo 4
Calculando a derivada do numerador:
E a derivada do denominador:
Passo 5
Agora nosso limite fica:
Vamos simplificar essa expressão.
Passo 6
Vamos reescrever a expressão para facilitar:
Passo 7
Simplificando mais, quando
se aproxima de
:
E substituindo na expressão:
Passo 8
Dividindo cada termo:
Simplificando cada parte:
Quando
se aproxima de
,
tende a
, então sobrará apenas:
Resposta
O limite é igual a
.