Calcule os seguintes limites usando o Teorema da (n) lim x a^+ raizx-raiza+raizx-araizx^2-a^2 com a>0 constante

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite quando lim x a^+ raizx-raiza+raizx-araizx^2-a^2 se aproxima de pela direita da seguinte expressão:
Vamos usar o Teorema de L’Hôpital aqui, que é útil quando temos limites do tipo ou . Primeiro, vamos verificar se temos esse tipo de indeterminação.

Passo 2

Quando se aproxima de pela direita ( ):
  • O numerador se aproxima de porque .
  • O denominador também se aproxima de porque .
Então, temos uma indeterminação do tipo e podemos aplicar o Teorema de L’Hôpital.

Passo 3

Aplique o Teorema de L’Hôpital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente:
lim x a^+ raizx-raiza+raizx-araizx^2-a^2 = lim x a^+ ddx(raizx-raiza+raizx-a)ddx(raizx^2-a^2)
Vamos calcular essas derivadas.

Passo 4

Calculando a derivada do numerador:
ddx(raizx-raiza+raizx-a) = 12raizx + 12raizx - a
E a derivada do denominador:
ddx(raizx^2-a^2) = 2x2raizx^2-a^2 = xraizx^2-a^2

Passo 5

Agora nosso limite fica:
lim x a^+ 12raizx + 12raizx - axraizx^2-a^2
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 6

Vamos reescrever a expressão para facilitar:
12raizx + 12raizx - axraiz(x - a)(x + a) = (12raizx + 12raizx - a) cdot raiz(x - a)(x + a)x

Passo 7

Simplificando mais, quando raiz(x - a)(x + a) approx raiz2a(x - a) se aproxima de (12raiza + 12raizx - a) cdot raiz2a(x - a)a :
E substituindo na expressão:

Passo 8

Dividindo cada termo:
12raiza cdot raiz2a(x - a)a + 12raizx - a cdot raiz2a(x - a)a
Simplificando cada parte:
raiz2(x - a)2a + raiz2a2a
Quando raiz2a2a = 1raiz2a se aproxima de , tende a , então sobrará apenas:

Resposta

O limite é igual a .

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