Faça uma mudança de variável para coordenadas polares em uma função analítica
, onde
e as coordenadas polares são dadas por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mudar as variáveis de coordenadas cartesianas para coordenadas polares em uma função analítica
, onde
. As coordenadas polares são dadas por
e
. Isso significa que vamos reescrever a função usando
e
ao invés de
e
. Para isso, precisamos entender como converter as variáveis e aplicar isso na função
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, qualquer ponto no plano complexo pode ser representado por
, onde
é a distância do ponto até a origem (módulo) e
é o ângulo em relação ao eixo positivo x (argumento). Então, substituímos
por
na função
.
Passo 3
Agora, vamos escrever a função
em termos de
e
. Substituindo
na função, temos:
Isso já está praticamente na forma que queremos, mas vamos detalhar um pouco mais para entender melhor.
Passo 4
Sabemos que
e
. Isso significa que quaisquer expressões em
e
na função original podem ser reescritas em termos de
e
. Ou seja, se antes tínhamos
e
, agora temos
e
.
Passo 5
Vamos aplicar isso na função
. A função analítica fica assim:
Isso mostra como a função original em coordenadas cartesianas é reescrita em coordenadas polares.
Resposta
A mudança de variável para coordenadas polares na função analítica
resulta em: