Faça uma mudança de variável para coordenadas polares em uma função analítica f(z) = u(r, θ) + i v(r, theta), onde z = x + i y e as coordenadas polares são dadas por x = r cos(theta) e y = r * sen(θ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mudar as variáveis de coordenadas cartesianas para coordenadas polares em uma função analítica , onde . As coordenadas polares são dadas por e . Isso significa que vamos reescrever a função usando e ao invés de e . Para isso, precisamos entender como converter as variáveis e aplicar isso na função .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, qualquer ponto no plano complexo pode ser representado por , onde é a distância do ponto até a origem (módulo) e é o ângulo em relação ao eixo positivo x (argumento). Então, substituímos por na função .

Passo 3

Agora, vamos escrever a função em termos de e . Substituindo na função, temos:
Isso já está praticamente na forma que queremos, mas vamos detalhar um pouco mais para entender melhor.

Passo 4

Sabemos que e . Isso significa que quaisquer expressões em e na função original podem ser reescritas em termos de e . Ou seja, se antes tínhamos e , agora temos e .

Passo 5

Vamos aplicar isso na função . A função analítica fica assim:
Isso mostra como a função original em coordenadas cartesianas é reescrita em coordenadas polares.

Resposta

A mudança de variável para coordenadas polares na função analítica resulta em:

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