Sabendo que f^prime(a)=lim x a f(x)-f(a)x-a. Calcule f^prime(a) em cada caso:
(a) f(x)=x^2 e a=2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a derivada da função f^prime(a) = lim x a f(x)-f(a)x-a no ponto . A derivada basicamente nos diz a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto. Para isso, vamos usar a definição de derivada:

Passo 2

Primeiro, vamos substituir f^prime(2) = lim x 2 x^2 - 2^2x - 2 e na fórmula. Aqui, e , então:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro do limite. Calculando f^prime(2) = lim x 2 x^2 - 4x - 2 dá 4, então fica:

Passo 4

Agora, fatoramos o numerador x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2) . Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
f^prime(2) = lim x 2 (x + 2)(x - 2)x - 2
Então, nossa expressão fica:

Passo 5

Perceba que o termo f^prime(2) = lim x 2 (x + 2) está tanto no numerador quanto no denominador. Podemos simplificar cancelando esses termos:

Passo 6

Agora, com a expressão simplificada, substituímos f^prime(2) = 2 + 2 = 4 por 2:

Resposta

A derivada de no ponto é .

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