Uma função u: A subset R^2 R é chamada de função harmônica em um domínio A se ela satisfaz a equação de Laplace:
De
onde De é chamado de operador Laplaciano. Note que, para que uma função seja harmônica, é necessário que existam as derivadas parciais de segunda ordem. No caso de funções analíticas, as derivadas de segunda ordem sempre existem, pois mostraremos, quando estudarmos integração complexa que as funções analíticas são infinitamente diferenciáveis! Agora vamos descrever alguns fatos importantes sobre as funções harmônicas:
  • Prove que: Se f=u+i v é analítica em uma região A, então u e v são funções harmônicas em A. (Dica: Use as equações de Cauchy-Riemann e o Teorema de Schwarz das derivadas parciais mistas para verificar que De e De ).

Passo 1

Vamos resumir o que a gente precisa fazer. A questão pede para provar que, se uma função De é analítica em uma região De, então as funções reais e são harmônicas nessa região. Ou seja, elas precisam satisfazer a equação de Laplace:
e
Para resolver isso, vamos precisar usar as Equações de Cauchy-Riemann e o Teorema de Schwarz sobre a igualdade das derivadas parciais mistas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as Equações de Cauchy-Riemann. Se partial upartial x = partial vpartial y e partial upartial y = -partial vpartial x é uma função analítica em , então as derivadas parciais de e obedecem:
Essas equações são essenciais para funções analíticas e vão nos ajudar a relacionar as derivadas de e .

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de partial^2 upartial x^2 = partialpartial x ( partial vpartial y ) = partial^2 vpartial x partial y em relação a , ou seja, . Para isso, derivamos a primeira Equação de Cauchy-Riemann novamente em relação a :
Aqui usamos que a derivada de em relação a é igual à derivada de em relação a .

Passo 4

De maneira similar, vamos calcular a segunda derivada parcial de partial^2 upartial y^2 = partialpartial y ( -partial vpartial x ) = -partial^2 vpartial y partial x em relação a partial^2 vpartial x partial y = partial^2 vpartial y partial x , ou seja, . Começamos derivando a segunda Equação de Cauchy-Riemann em relação a :
Note que a ordem das derivadas parciais não muda por causa do Teorema de Schwarz, que diz que se as derivadas mistas são contínuas, então:

Passo 5

Agora, vamos somar as duas segundas derivadas de De:
Por conta do Teorema de Schwarz, sabemos que , então a soma resulta em zero.

Passo 6

Fazendo um raciocínio idêntico para partial^2 vpartial x^2 = partialpartial x ( -partial upartial y ) = -partial^2 upartial x partial y , vamos verificar se partial^2 vpartial y^2 = partialpartial y ( partial upartial x ) = partial^2 upartial y partial x . Primeiro, usamos as Equações de Cauchy-Riemann para encontrar as segundas derivadas de De:
Somando essas derivadas:
Mais uma vez, pelo Teorema de Schwarz, as derivadas mistas são iguais, cancelando-se e resultando em zero.

Resposta

Portanto, provamos que e . Assim, as funções e são harmônicas na região .

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