Calcule os seguintes limites, sem usar a regra de L’Hôspital:
\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\operatorname{sen}^{2}(2 x)}{1-\operatorname{sen}^{2}(x)}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{2}(2x)}{1-\sin^{2}(x)}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão no numerador é \sin^{2}(2x).
  • A expressão no denominador é 1-\sin^{2}(x).
  • O ponto de interesse é x=\frac{\pi}{2}, onde \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1 e \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.
  • O enunciado pede que não usemos a regra de L’Hôpital (vou evitar usá-la).

Passo 2

Usar uma identidade trigonométrica útil: a identidade pitagórica.
Ela diz que, para todo x,
\sin^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1.
Desse modo podemos reescrever 1-\sin^{2}(x) como \cos^{2}(x). Aqui \sin(x) e \cos(x) são as funções seno e cosseno do ângulo x. Essa é uma fórmula básica e válida para todo x.

Passo 3

Aplicando a identidade do Passo 2 ao denominador, obtemos (válido para x quaisquer):
\frac{\sin^{2}(2x)}{1-\sin^{2}(x)}=\frac{\sin^{2}(2x)}{\cos^{2}(x)}=\left(\frac{\sin(2x)}{\cos(x)}\right)^{2}.
Observação importante: essa igualdade é uma identidade algébrica válida para todo x em que o denominador \cos^{2}(x) é diferente de zero (ou seja, para x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi). Para calcular o limite em x\to\frac{\pi}{2} podemos trabalhar com essa expressão em uma vizinhança pontuada de \frac{\pi}{2} (valores próximos, mas diferentes de \frac{\pi}{2}); se duas funções coincidem nessa vizinhança pontuada, seus limites no ponto coincidem quando o limite existe.

Passo 4

Usar a identidade do ângulo duplo para o seno:
\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x).
Substituindo na expressão do Passo 3 temos, para x tal que \cos(x)\neq0:
\frac{\sin(2x)}{\cos(x)}=\frac{2\sin(x)\cos(x)}{\cos(x)}=2\sin(x).
Ao elevar ao quadrado,
\left(\frac{\sin(2x)}{\cos(x)}\right)^{2}=(2\sin(x))^{2}=4\sin^{2}(x).
Portanto, para x próximos de \frac{\pi}{2} (mas diferentes dele) a função original é igual a 4\sin^{2}(x).

Passo 5

Agora calculamos o limite da função simplificada. A função \sin(x) é contínua em todo ponto, então podemos trocar limite por substituição:
\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}4\sin^{2}(x)=4\left(\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\sin(x)\right)^{2}=4\sin^{2}\!\left(\frac{\pi}{2}\right).
Como \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1, obtemos
4\sin^{2}\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=4\cdot 1^{2}=4.

Passo 6

Breve justificativa da legalidade da simplificação (pra você ficar tranquilo): embora em x=\frac{\pi}{2} o denominador original seja zero, a simplificação mostrou que para todos os x próximos a \frac{\pi}{2} (exceto exatamente \frac{\pi}{2}) a expressão coincide com 4\sin^{2}(x). Como o limite depende apenas do comportamento em pontos próximos (não do valor no próprio ponto), podemos calcular o limite usando a expressão simplificada. Um exemplo análogo comum: \lim_{x\to1}\frac{x^{2}-1}{x-1}=\lim_{x\to1} (x+1)=2 após cancelar x-1; aqui foi a mesma ideia de cancelar um fator que se anula no ponto.

Resposta

4

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