Calcule os seguintes limites, sem usar a regra de L’Hôspital:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão no numerador é
. - A expressão no denominador é
. - O ponto de interesse é
, onde e . - O enunciado pede que não usemos a regra de L’Hôpital (vou evitar usá-la).
Passo 2
Usar uma identidade trigonométrica útil: a identidade pitagórica.
Ela diz que, para todo ,
Ela diz que, para todo
Desse modo podemos reescrever
como
. Aqui
e
são as funções seno e cosseno do ângulo
. Essa é uma fórmula básica e válida para todo
.
Passo 3
Aplicando a identidade do Passo 2 ao denominador, obtemos (válido para
quaisquer):
Observação importante: essa igualdade é uma identidade algébrica válida para todo
em que o denominador
é diferente de zero (ou seja, para
). Para calcular o limite em
podemos trabalhar com essa expressão em uma vizinhança pontuada de
(valores próximos, mas diferentes de
); se duas funções coincidem nessa vizinhança pontuada, seus limites no ponto coincidem quando o limite existe.
Passo 4
Usar a identidade do ângulo duplo para o seno:
Substituindo na expressão do Passo 3 temos, para
tal que
:
Ao elevar ao quadrado,
Portanto, para
próximos de
(mas diferentes dele) a função original é igual a
.
Passo 5
Agora calculamos o limite da função simplificada. A função
é contínua em todo ponto, então podemos trocar limite por substituição:
Como
, obtemos
Passo 6
Breve justificativa da legalidade da simplificação (pra você ficar tranquilo): embora em
o denominador original seja zero, a simplificação mostrou que para todos os
próximos a
(exceto exatamente
) a expressão coincide com
. Como o limite depende apenas do comportamento em pontos próximos (não do valor no próprio ponto), podemos calcular o limite usando a expressão simplificada. Um exemplo análogo comum:
após cancelar
; aqui foi a mesma ideia de cancelar um fator que se anula no ponto.