Seja
f(x)=\left\{\begin{array}{c} (x-3)^{2} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x-3}\right) \text { se } x>3 \\\ \left(x^{2}+x-12\right) \cos \operatorname{sec} (x-3) \text { se } x<3 \end{array}\right.
Calcule, caso exista \lim _{x \rightarrow 3} f(x).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\begin{cases} (x-3)^{2}\sin\!\left(\frac{1}{x-3}\right), & \text{se } x>3,\\[6pt] \left(x^{2}+x-12\right)\cos\!\big(\operatorname{sec}(x-3)\big), & \text{se } x<3, \end{cases}
e pede para calcular, se existir, \lim_{x\to3} f(x).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\begin{aligned} &\text{Para } x>3:\; f(x)=(x-3)^{2}\sin\!\left(\frac{1}{x-3}\right).\\[4pt] &\text{Para } x<3:\; f(x)=\big(x^{2}+x-12\big)\cos\!\big(\operatorname{sec}(x-3)\big). \end{aligned}
A tarefa é verificar o limite quando x se aproxima de 3 por ambos os lados e decidir se o limite bilateral existe (isto é, se os limites laterais são iguais).]

Passo 2

Vamos calcular o limite pela direita, isto é \lim_{x\to3^{+}} f(x). Para x>3 ponha
t=x-3,
então t\to0^{+} quando x\to3^{+} e a expressão fica
f(x)=(x-3)^{2}\sin\!\left(\frac{1}{x-3}\right)=t^{2}\sin\!\left(\frac{1}{t}\right).
Agora iremos estimar o valor absoluto dessa expressão para aplicar um teorema de limite.

Passo 3

Lembrete e aplicação do teorema do aperto (squeeze theorem): a função \sin é sempre limitada por -1 e 1, ou seja
-1\le \sin\!\left(\frac{1}{t}\right)\le 1.
Multiplicando por t^{2}\ge0 obtemos
-t^{2}\le t^{2}\sin\!\left(\frac{1}{t}\right)\le t^{2}.
Tomando módulos,
\left|t^{2}\sin\!\left(\frac{1}{t}\right)\right|\le t^{2}.
Como t^{2}\to0 quando t\to0, pelo teorema do aperto concluímos que
\lim_{t\to0^{+}} t^{2}\sin\!\left(\frac{1}{t}\right)=0.
Voltando à variável x, isso significa
\lim_{x\to3^{+}} (x-3)^{2}\sin\!\left(\frac{1}{x-3}\right)=0.

Passo 4

Agora calculemos o limite pela esquerda, \lim_{x\to3^{-}} f(x). Para x<3 temos
f(x)=\big(x^{2}+x-12\big)\cos\!\big(\operatorname{sec}(x-3)\big).
Observe que o polinômio pode ser fatorado:
x^{2}+x-12=(x-3)(x+4).
Portanto
f(x)=(x-3)(x+4)\cos\!\big(\operatorname{sec}(x-3)\big).

Passo 5

Analisemos cada fator quando x\to3^{-} (ou x\to3 em geral):
\lim_{x\to3}(x-3)=0,\qquad \lim_{x\to3}(x+4)=7.
Sobre o fator \cos\!\big(\operatorname{sec}(x-3)\big): quando x\to3 temos x-3\to0. Como \cos é contínua e \cos(0)=1\neq0, a função \operatorname{sec}(y)=\dfrac{1}{\cos y} é contínua em y=0 e \operatorname{sec}(0)=1. Logo a composição \cos(\operatorname{sec}(y)) é contínua em y=0, e portanto
\lim_{x\to3}\cos\!\big(\operatorname{sec}(x-3)\big)=\cos\!\big(\operatorname{sec}(0)\big)=\cos(1).
Assim, juntando tudo,
\lim_{x\to3^{-}} f(x)=\lim_{x\to3}\big[(x-3)(x+4)\cos\!\big(\operatorname{sec}(x-3)\big)\big]=0\cdot 7\cdot\cos(1)=0.

Passo 6

Concluímos que os dois limites laterais existem e são iguais:
\lim_{x\to3^{+}} f(x)=0\qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to3^{-}} f(x)=0.
Portanto o limite bilateral existe e vale 0.

Resposta

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