Exercício 7. Seja f uma função definida em \mathbb{R} tal que para todo x \neq 0, temos:
4 x^{2}-1 \leq f(x) \leq x^{2}+2 x-1
Calcule \lim _{x \rightarrow 0} f(x) e justifique sua resposta utilizando o Teorema do Confronto.

Passo 1

O enunciado diz que existe uma função f definida em \mathbb{R} tal que, para todo x\neq0, vale a desigualdade
4x^{2}-1 \;\le\; f(x)\;\le\; x^{2}+2x-1.
Pede-se \lim_{x\to0}f(x), usando o Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem), isto é, explorando que f está “espremida” entre duas funções cujos limites em 0 conhecemos.

Passo 2

Definimos as funções de limite inferior e superior:
g(x)=4x^{2}-1, \qquad h(x)=x^{2}+2x-1.
Como são polinômios, são contínuas em todo ponto, e em particular
\lim_{x\to0}g(x)=\lim_{x\to0}(4x^{2}-1)=-1, \qquad \lim_{x\to0}h(x)=\lim_{x\to0}(x^{2}+2x-1)=-1.

Passo 3

Pelo Teorema do Confronto, se
g(x)\le f(x)\le h(x)
e \lim_{x\to0}g(x)=\lim_{x\to0}h(x)=L, então \lim_{x\to0}f(x)=L. Aqui L=-1, logo
\lim_{x\to0}f(x)=-1.

Resposta

-1

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