Exercício 8. Mostre que \lim _{x \rightarrow 0} x^{4} \cos \left(\frac{1}{x}\right)=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{x\to 0} x^{4}\cos\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr)=0.
O conteúdo principal é o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche), que afirma que se f(x)\le g(x)\le h(x) e \lim f(x)=\lim h(x)=L, então \lim g(x)=L.

Passo 2

Observamos que para todo x\neq0 vale
-1\le \cos\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr)\le 1.
Multiplicando essa desigualdade por x^{4}, que é sempre não negativo, obtemos
-\,x^{4}\;\le\;x^{4}\cos\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr)\;\le\;x^{4}.

Passo 3

Agora calculamos o limite dos termos que “confrontam” a nossa função:
\lim_{x\to 0}(-\,x^{4})=0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to 0}x^{4}=0.

Passo 4

Pelo Teorema do Confronto, como ambos os limites das funções extremas valem 0 e
-\,x^{4}\;\le\;x^{4}\cos\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr)\;\le\;x^{4},
concluímos que
\lim_{x\to 0}x^{4}\cos\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr)=0.

Resposta

0

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