Calcule os seguintes limites utilizando a regra de l’ Hopital.
lim x 0+ 1+3 x^12 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto0+l(1+3x^1/(2x)r). O conteúdo aqui é de limites envolvendo potência com expoente que também depende de x, e vamos precisar usar a transformação a^b=exp(bln a) e depois calcular o limite do logaritmo interno.

Passo 2

Primeiro, separamos a parte que interessa dentro do limite: definimos
L=limxto0+x^1/(2x)
Assim, o limite original fica
limxto0+l(1+3x^1/(2x)r)=1+3L

Passo 3

Para calcular L, escrevemos
x^1/(2x)=expl(tfrac12xln xr)
Logo basta achar
A(x)=ln x2x
e depois tomar L=expl(lim A(x)r), se esse limite existir.

Passo 4

Como xto0+ faz ln xto-infty e xto0+ dá denominação pequena, vamos usar a mudança de variável t=1/x, que vai para +infty. Note que
A(x)=ln x2x=-ln t2,(1/t)=-tln t2
Então precisamos de
limttoinftytln t

Passo 5

Para calcular limttoinftytln t aplicamos a regra de l’Hôpital na forma
ln t1/t(infty/infty)
Derivando numerador e denominador:
limttoinfty(ln t)' (1/t)'=limttoinfty1/t-1/t^2=limttoinfty(-t)=-infty
Logo tln tto+infty, e portanto
A(x)=-tfractln t2to-infty
Desse modo
L=expl(lim A(x)r)=exp(-infty)=0

Passo 6

Substituindo em 1+3L, obtemos
1+3cdot0=1

Resposta

1

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