Questão 2.(2.7pt) marque (V) se a afirmação é verdadeira; (F) se é falsa; e (O) para omitir-se. Cada alternativa correta conta 0.45 pt ; cada errada desconta 0.15 pt .
(V) (F) (O) (a) u=raizx implica u=ln x
(V) (F) (O) (b) integrale^e^e 1x ln x d x=integrale^e^e d uu=[ln |u|]e^e^e=e-1
(V) (F) (O) © u=e^x-3 integral0^pi / 4 g(x) d x=2 raiz2pi
(V) (F) (O) (d) implica
(V) (F) (O) (e) implica
(V) (F) (O) (f) Sabendo que então

Passo 1

O enunciado apresenta seis afirmações sobre integrais definidas e pede para marcarmos cada uma como verdadeira (V) ou falsa (F). Vamos avaliar uma a uma usando técnicas de Cálculo I como integração por partes, fórmulas trigonométricas, frações parciais e mudança de variável.

Passo 2

Para (a) usar integração por partes em ∫_{π/2}^{π} √x·cos x dx, escolhemos u=√x e dv=cos x dx. Então v=sen x e du=1/(2√x) dx. A fórmula dá
∫√x·cos x dx=√x·sen x - 12 ∫sen x√x dx
Não aparece termo sen x2√x como coeficiente de contorno, logo o resultado dado está errado. Portanto (a) é falsa.

Passo 3

Na (b) aplicamos a identidade de redução sin^2x=(1-cos2x)/2:
∫0^π/2 sin^2x dx=∫0^π/2 1-cos2x2 dx=l[ x2-sin2x4r]0^π/2=π4
Está perfeitamente correto. Então (b) é verdadeira.

Passo 4

Em © decompondo 1/(x^3+x)=1/(x(x^2+1)) em frações parciais encontra-se
1x(x^2+1)=1x- xx^2+1
e não há termo 1/(x^2+1). A antiderivada não inclui . Logo a fórmula dada está incorreta e © é falsa.

Passo 5

Na (d) fazemos u=ln x, então du=dx/x. Assim
∫e^e^edxxln x=∫u=1^u=eduu=l[ln ur]1^e=1
O enunciado afirma e-1, que está errado. Logo (d) é falsa.

Passo 6

Em (e) com u=e^x-3 segue du=e^x dx, limites dão u(0)=-2 e u(ln4)=1, então
∫0^ln4e^xe^x-3dx=∫-2^1duu=l[ln|u|r]-2^1=-ln2
O resultado dado 3-3ln2 está errado. Logo (e) é falsa.

Passo 7

Para (f) temos g(x)=d/dx[\sin x/x]. Pelo teorema fundamental,
∫0^π/4g(x)dx=l[sin xxr]0^π/4=sin(π/4)π/4-1=2raiz2π-1
e não 2raiz2/π. Portanto (f) é falsa.

Resposta

(a) F, (b) V, © F, (d) F, (e) F, (f) F

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