Calcule os seguintes limites utilizando a regra de l’ Hopital.
lim x 1 x^1x^2-1

Passo 1

O exercício pede calcular limx to 1 x^1x^2-1 usando a regra de l’Hôpital. O conteúdo envolve limites do tipo 1^infty e vamos precisar usar logaritmos e a forma indeterminada tfrac00.

Passo 2

Para transformar a indeterminação 1^infty em algo tratável, definimos L = limx to 1 x^1x^2-1 e aplicamos logaritmo natural em ambos os lados.
ln L = limx to 1 ln xx^2 - 1

Passo 3

Ao calcular o limite de tfracln xx^2 - 1 quando x to 1, temos a forma tfrac00. Aplicamos a regra de l’Hôpital, derivando numerador e denominador:
ddx(ln x) = 1x, ddx(x^2 - 1) = 2x

Passo 4

Substituindo na expressão, o limite passa a ser
limx to 1 tfrac1x2x = limx to 1 12x^2 = 12
Logo, ln L = 12.

Passo 5

Aplicando exponenciação em ambos os lados, concluímos que L = e^12.

Resposta

raize

Exercícios relacionados